8. Sınıf Matematik – Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı
BİR POZİTİF TAM SAYININ POZİTİF ÇARPANLARI (BÖLENLERİ)
Bir doğal sayıyı tam olarak bölen sayma sayılarına o sayının bölenleri denir.
Örnek: 12 sayısının çarpanlarını bulalım.
1.12=12
2.6=12
3.4=12
olduğundan 12 sayısının çarpanları 1,2,3,4,6 ve 12 dir.
Örnek: 30 sayısının çarpanlarını bulalım.
1.30=30
2.15=30
3.10=30
5.6=30
olduğundan 30 sayısının çarpanları 1,2,3,5,6,10,15 ve 30 dur.
ASAL SAYILAR
Örnek: Aşağıda bazı verilen sayıların asal olup olmadığını inceleyelim.
1 sayısının çarpanı 1 dir. Yani asal sayı değildir. (1 tane çarpanı olduğu için)
2 sayısının çarpanları 1 ve 2 dir. Asaldır.
3 sayısının çarpanları 1 ve 3 tür. Asaldır.
4 sayısının çarpanları 1,2 ve 4 tür. Asal değildir. (1 ve kendisi dışında çarpanı vardır)
5 sayısının çarpanları 1 ve 5 tir. Asaldır.
Şeklinde örnekleri çoğaltabiliriz.
1 den 100’e kadar olan Asal Sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 dir.
Buna göre;
- En küçük asal sayı 2 dir.
- 2 den başka çift asal sayı yoktur.
- 0 ve 1 asal sayı değildir.
- Negatif sayılarda asallık yoktur.
ASAL ÇARPANLAR
Bir A sayısının asal çarpanları a,b ve c olsun bunların kuvvetleri x,y ve z olsun. A = ax · by · cz şeklinde ki gösterim asal çarparının çarpımı şeklinde yazmak demektir.
Örnek: 20 sayısını çarpanları 1,2,4,5,10 ve 20 dir. Bunlardan 2 ve 5 asal çarpanlardır. Asal çarpanlarının çarpımı şeklinde 20= 22·5 şeklinde yazılır.
Bu yöntemle çarpanları bulmakta kolaydır.
Örnek: 24 sayısının çarpanlarını ve asal çarpanlarını çarpan ağacı yöntemini kullanarak bulalım.
24 sayısının çarpanları sırayla 1,2,3,4,6,8,12,24 tür.
Asal çarpanları son sıradaki asal sayılardır yani 2 ve 3 tür.
Asal çarpanlarının çarpımı şeklinde gösterimi 24 = 23·3 şeklindedir.
Bu yöntemle asal çarpanları bulmak ve çarpımları şeklinde yazmak daha kolaydır.
Örnek: 24 sayısının asal çarpanlarını ve çarpımları şeklinde yazmayı asal çarpan algoritmasını kullanarak bulalım.
24=2·2·2·3 şeklindedir bunu düzenlersek
24 = 23·3 şeklinde olacaktır.
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)
a ve b sayılarının ortak bölenleri EBOB(a,b) veya (a,b)ebob şeklinde gösterilir.
Örnek: 12 ve 18 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
12 sayısının bölenleri 1,2,3,4,6,12
18 sayısının bölenleri 1,2,3,6,9,18 dir.
Ortak bölenler: 1,2,3 ve 6 dır.
Ortak bölenlerinin en büyüğü 6 dır. Yani EBOB(12,18)=6 dır.
EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)
a ve b sayılarının ortak bölenleri EKOK(a,b) veya (a,b)ekok şeklinde gösterilir.
Örnek: 9 ve 12 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.
9 sayısının katları 9,18,27,36,45,54,63,72,81,…
12 sayısının katları 12,24,36,48,60,72,84,… şeklindedir.
Ortak katlar: 36, 72, …
Ortak katların en küçüğü 36 dır. Yani EKOK(9,12)=36 dır.
EBOB(a,b) · EKOK(a,b) = a · b
ARALARINDA ASAL SAYILAR
Örnek: 4 ve 9 sayıları aralarında asal mıdır?
4 ün bölenleri 1,2,4
9 un bölenleri 1,3,9
bu iki sayının bölenlerinden ortak olan yalnız 1 dir. yani 4 ve 9 aralarında asaldır.
Örnek: 12 ve 27 aralarında asal mıdır?
12 nin bölenleri 1,2,3,4,6,12
27 nin bölenleri 1,3,9,27
bu iki sayının bölenlerinden ortak olanlar 1 ve 3 tür yani 1 dışında ortak bölenleri olduğu için 12 ve 27 aralarında asal değildir.
→1 sayısı her sayı ile aralarında asaldır.
→Ardışık sayılar aralarında asaldır.
→Asal sayılar aralarında asaldır.
→Aralarında asal sayıların EBOB’u 1 dir.
→Aralarında asal sayıların EKOK’u ise bu sayıların çarpımına eşittir.
A ve B sayıları aralarında asal pozitif tam sayılar ise,
EBOB(A, B) = 1
EKOK(A, B) = A · B olur.
M.8.1.1.1. Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar.
M.8.1.1.2. İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar, ilgili problemleri çözer.
M.8.1.1.3. Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler.