8. Sınıf Matematik – Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı

Her doğal sayı, iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanı denir. Bir sayının çarpanı aynı zamanda bölenidir.
Bir doğal sayıyı tam olarak bölen sayma sayılarına o sayının bölenleri denir.

Herhangi bir doğal sayının bölenleri aynı zamanda o sayının çarpanlarıdır. Her doğal sayı, kendi çarpanlarına tam olarak bölünür.

Örnek: 12 sayısının çarpanlarını bulalım.
1.12=12
2.6=12
3.4=12
olduğundan 12 sayısının çarpanları 1,2,3,4,6 ve 12 dir.
 
Örnek: 30 sayısının çarpanlarını bulalım.
1.30=30
2.15=30
3.10=30
5.6=30
olduğundan 30 sayısının çarpanları 1,2,3,5,6,10,15 ve 30 dur.

ASAL SAYILAR

1 ve kendini dışında pozitif çarpanı olmayan sayılara asal sayılar denir.
Örnek: Aşağıda bazı verilen sayıların asal olup olmadığını inceleyelim.
1 sayısının çarpanı 1 dir. Yani asal sayı değildir. (1 tane çarpanı olduğu için)
2 sayısının çarpanları 1 ve 2 dir. Asaldır.
3 sayısının çarpanları 1 ve 3 tür. Asaldır.
4 sayısının çarpanları 1,2 ve 4 tür. Asal değildir. (1 ve kendisi dışında çarpanı vardır)
5 sayısının çarpanları 1 ve 5 tir. Asaldır.
Şeklinde örnekleri çoğaltabiliriz.

1 den 100’e kadar olan Asal Sayılar: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 dir.

Buna göre;

  • En küçük asal sayı 2 dir.
  • 2 den başka çift asal sayı yoktur.
  • 0 ve 1 asal sayı değildir.
  • Negatif sayılarda asallık yoktur.

ASAL ÇARPANLAR

Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına o sayının asal çarpanları denir. 1 den büyük tüm sayılar asal çarpanlarının çarpımı şeklinde (üslü sayılardan faydalanarak) yazılabilir.
Bir A sayısının asal çarpanları a,b ve c olsun bunların kuvvetleri x,y ve z olsun. A = ax · by · cz şeklinde ki gösterim asal çarparının çarpımı şeklinde yazmak demektir.
Örnek: 20 sayısını çarpanları 1,2,4,5,10 ve 20 dir. Bunlardan 2 ve 5 asal çarpanlardır. Asal çarpanlarının çarpımı şeklinde 20= 22·5 şeklinde yazılır.

Asal çarpanları bulabilmek için tüm çarpanları bulmaya gerek yoktur. Bunun için 2 kural vardır. Çarpan Ağacı ve Asal Çarpan Algoritması’dır.

Çarpan Ağacı: Bir şema çizilerek pozitif bir tam sayının asal çarpanları elde edilebilir bu yönteme çarpan ağacı yöntemi denir.

Bu yöntemle çarpanları bulmakta kolaydır.

Örnek: 24 sayısının çarpanlarını ve asal çarpanlarını çarpan ağacı yöntemini kullanarak bulalım.

24 sayısının çarpanları sırayla 1,2,3,4,6,8,12,24 tür.
Asal çarpanları son sıradaki asal sayılardır yani 2 ve 3 tür.
Asal çarpanlarının çarpımı şeklinde gösterimi 24 = 23·3 şeklindedir.
Asal Çarpan Algoritması: Bir sayının yanına dikey çizgi çizilerek en küçük asal sayıdan başlayıp bölme yoluyla 1 sayısı elde edilinceye kadar yapılan işleme denir.

Bu yöntemle asal çarpanları bulmak ve çarpımları şeklinde yazmak daha kolaydır.

Örnek: 24 sayısının asal çarpanlarını ve çarpımları şeklinde yazmayı asal çarpan algoritmasını kullanarak bulalım.


24=2·2·2·3 şeklindedir bunu düzenlersek
24 = 23·3 şeklinde olacaktır.


EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)

İki ya da daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne en büyük ortak bölen (EBOB) denir.

a ve b sayılarının ortak bölenleri EBOB(a,b) veya (a,b)ebob şeklinde gösterilir.

Örnek: 12 ve 18 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
12 sayısının bölenleri 1,2,3,4,6,12
18 sayısının bölenleri 1,2,3,6,9,18 dir.
Ortak bölenler: 1,2,3 ve 6 dır.
Ortak bölenlerinin en büyüğü 6 dır. Yani EBOB(12,18)=6 dır.

EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)

İki ya da daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne en küçük ortak kat (EKOK) denir.

a ve b sayılarının ortak bölenleri EKOK(a,b) veya (a,b)ekok şeklinde gösterilir.

Örnek: 9 ve 12 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.
9 sayısının katları 9,18,27,36,45,54,63,72,81,…
12 sayısının katları 12,24,36,48,60,72,84,… şeklindedir.
Ortak katlar: 36, 72, …
Ortak katların en küçüğü 36 dır. Yani EKOK(9,12)=36 dır.
NOT: Herhangi iki sayının EBOB ve EKOK’larının çarpımı bu iki sayının çarpımına eşittir.
EBOB(a,b) · EKOK(a,b) = a · b

ARALARINDA ASAL SAYILAR

1’den başka ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir.
Örnek: 4 ve 9 sayıları aralarında asal mıdır?
4 ün bölenleri 1,2,4
9 un bölenleri 1,3,9
bu iki sayının bölenlerinden ortak olan yalnız 1 dir. yani 4 ve 9 aralarında asaldır.
Örnek: 12 ve 27 aralarında asal mıdır?
12 nin bölenleri 1,2,3,4,6,12
27 nin bölenleri 1,3,9,27
bu iki sayının bölenlerinden ortak olanlar 1 ve 3 tür yani 1 dışında ortak bölenleri olduğu için 12 ve 27 aralarında asal değildir.
→Aralarında asal sayıların asal olması gerekmez.
→1 sayısı her sayı ile aralarında asaldır.
→Ardışık sayılar aralarında asaldır.
→Asal sayılar aralarında asaldır.
→Aralarında asal sayıların EBOB’u 1 dir.
→Aralarında asal sayıların EKOK’u ise bu sayıların çarpımına eşittir.
A ve B sayıları aralarında asal pozitif tam sayılar ise,
EBOB(A, B) = 1
EKOK(A, B) = A · B olur.

M.8.1.1.1. Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar.
M.8.1.1.2. İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar, ilgili problemleri çözer.
M.8.1.1.3. Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler.

Bunları da beğenebilirsin