8. Sınıf Matematik – Kareköklü İfadeler Konu Anlatımı
TAM KARE POZİTİF TAM SAYILARIN KAREKÖKÜ
Karekök sembolü “” ile gösterilir. $9$ sayısının karekökü $\displaystyle \sqrt{9}$ şeklinde yazılır ve “karekök dokuz” ya da “dokuzun karekökü” şeklinde okunur.
Örnek: $9$ sayısı hangi sayının karesidir? tabiki $3$ ün karesidir. yani $\displaystyle \sqrt{9}=3$ tür.
Tam kare sayılardan en çok kullanılanları bulalım.
12 = 1 | 62 = 36 | 112 = 121 | 162 = 256 | 212 = 441 | 302 = 900 |
22 = 4 | 72 = 49 | 122 = 144 | 172 = 289 | 222 = 484 | 402 = 1600 |
32 = 9 | 82 = 64 | 132 = 169 | 182 = 324 | 232 = 529 | 502 = 2500 |
42 = 16 | 92 = 81 | 142 = 196 | 192 = 361 | 242 = 576 | 602 = 3600 |
52 = 25 | 102 = 100 | 152 = 225 | 202 = 400 | 252 = 625 | 1002 = 10000 |
$\displaystyle \sqrt{25}=5$
$\displaystyle \sqrt{144}=12$
$\displaystyle \sqrt{289}=17$
$\displaystyle \sqrt{49}=7$
$\displaystyle \sqrt{169}=13$
$\displaystyle \sqrt{324}=18$
$\displaystyle \sqrt{100}=10$
$\displaystyle \sqrt{225}=15$
$\displaystyle \sqrt{625}=25$
Örnek: $\displaystyle 10·10=100$ ve $\displaystyle (-10)·(-10)=100$ karesi $100$ olan sayılar $10$ ve $-10$ dur. $\displaystyle \sqrt{100}=10$ dur.
Not: Bir kenar uzunluğu $\displaystyle a$ olan bir karenin alanı $\displaystyle a^{2}$ dir. Alanı $\displaystyle a^{2}$ olan karenin bir kenarı $\displaystyle a$ dır. Yani bir karede alanın karekökü karenin bir kenarına eşittir.
TAM KARE OLMAYAN SAYILARIN KAREKÖKLERİN HANGİ İKİ DOĞAL SAYI ARASINDA OLDUĞUNU BULMA
Örnek: $\displaystyle \sqrt{15}$ sayısı hangi iki doğal sayı arasındadır?
$\displaystyle 15$’e en yakın tamkare sayılar $9$ ve $16$ dır. yani
$\displaystyle \sqrt{9}<\sqrt{15}<\sqrt{16}$ şeklinde yazılabilir. Daha sonra $9$ ve $16$ karekök dışına çıkarılır
$\displaystyle 3<\sqrt{15}<4$ şeklinde yazılır ve $\displaystyle \sqrt{15}$ sayısı $3$ ile $4$ arasındadır.
Örnek: $\displaystyle \sqrt{50}$ sayısı hangi iki doğal sayı arasındadır?
$50$ sayısı $49$ ve $64$ tamkare sayıları arasındadır. Buradan
$\displaystyle \sqrt{49}<\sqrt{50}<\sqrt{64}$ şeklinde yazılabilir. Daha sonra $49$ ve $64$ karekök dışına çıkarılır
$\displaystyle 7<\sqrt{50}<8$ şeklinde yazılır ve $\displaystyle \sqrt{50}$ sayısı $7$ ile $8$ arasındadır.
TAM KARE OLMAYAN KAREKÖKLÜ İFADEYİ $\displaystyle a\sqrt{b}$ ŞEKLİNDE YAZMA
Örnek: $\displaystyle \sqrt{12}$ sayısını $\displaystyle a\sqrt{b}$ şeklinde yazalım.
$12$ sayısını çarpım şeklinde yazalım (çarpanların biri tamkare olmalı)
$\displaystyle \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}$ daha sonra $4$ sayısı karekök dışına $2$ olarak çıkarılır. $\displaystyle \sqrt{12}=2\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$ olur.
KAREKÖKLÜ İFADENİN KATSAYISINI KAREKÖK İÇİNE ALMA
$\displaystyle a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}\cdot b}$
KAREKÖKLÜ İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ
$\displaystyle a\sqrt{b}\cdot c\sqrt{d} = a\cdot c\sqrt{b\cdot d}$
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}= \sqrt{a\cdot b}$
$\displaystyle a\sqrt{c}\cdot \sqrt{d}= a\sqrt{c\cdot d}$
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}= a$
Örnek: $\displaystyle 2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{5}$ çapma işlemini yapalım.
$\displaystyle 2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{5} = 2\cdot 3\sqrt{3\cdot 5}=6 \sqrt{15}$
KAREKÖKLÜ İFADELERDE BÖLME İŞLEMİ
$\displaystyle \frac{a\sqrt{x}}{b\sqrt{y}}=\frac{a}{b}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}$
Örnek: $\displaystyle \frac{6\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$ işleminin sonucunu bulalım.
$\displaystyle \frac{6\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}=\frac{6}{3}\cdot \sqrt{\frac{10}{2}}=2\sqrt{5}$
KAREKÖKLÜ İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ
$\displaystyle a\sqrt{x}+b\sqrt{x}= (a+b)\cdot \sqrt{x}$
$\displaystyle a\sqrt{x}-b\sqrt{x}= (a-b)\cdot \sqrt{x}$
Örnek: $\displaystyle 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}$ işleminin sonucunu bulalım.
$\displaystyle 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}= (2+5)\cdot \sqrt{3} = 7 \sqrt{3}$
Örnek: $\displaystyle 6\sqrt{2}-2\sqrt{2}$ işleminin sonucunu bulalım.
$\displaystyle 6\sqrt{2}-2\sqrt{2}= (6-2)\cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$
Örnek: $\displaystyle \sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{108}$ işleminin sonucunu bulalım.
Karekök içleri aynı olmadığı için bu sayıları $\displaystyle a\sqrt{b}$ şekline çevirip işlemleri yapabiliriz.
$\displaystyle \sqrt{75}= \sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$
$\displaystyle \sqrt{48}= \sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$
$\displaystyle \sqrt{108}= \sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}$
$\displaystyle \sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{108}= 5 \sqrt{3}+4 \sqrt{3}-6 \sqrt{3}$
$\displaystyle =(5+4-6)\sqrt{3}$
$\displaystyle =3\sqrt{3}$
KAREKÖKLÜ İFADEYİ DOĞAL SAYI YAPAN ÇARPANLAR
$\displaystyle \sqrt{b}\cdot \sqrt{b} = b$ olduğu için $\displaystyle a\sqrt{b}\cdot \sqrt{b} = a\cdot b$ olur.
Örnek: $\displaystyle \sqrt{12}$ sayısını hangi sayı ile çarparsak sonuç doğal sayı olur?
$\displaystyle \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}$ olduğundan kareköklü kısım $\displaystyle \sqrt{3}$ tür. Yani bu sayısı $\displaystyle \sqrt{3}$ ile çarparsak sonuç doğal sayı olur.
$\displaystyle 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2\cdot 3 = 6$
Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
Sayı | $\displaystyle a\sqrt{b}$ hali | Doğal Sayı Yapan Değer | İşlem | Sonuç |
$\displaystyle \sqrt{20}$ | $\displaystyle 2\sqrt{5}$ | $\displaystyle \sqrt{5}$ | $\displaystyle 2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=2 \cdot 5$ | $10$ |
$\displaystyle \sqrt{32}$ | $\displaystyle 4\sqrt{2}$ | $\displaystyle \sqrt{2}$ | $\displaystyle 4 \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4 \cdot 2$ | $8$ |
$\displaystyle \sqrt{6}$ | $\displaystyle \sqrt{6}$ | $\displaystyle \sqrt{6}$ | $\displaystyle \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}=6$ | $6$ |
$\displaystyle \sqrt{90}$ | $\displaystyle 3\sqrt{10}$ | $\displaystyle \sqrt{10}$ | $\displaystyle 3 \sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=3 \cdot 10$ | $30$ |
ONDALIK GÖSTERİMLERİN KAREKÖKÜ
Örnek: $\displaystyle \sqrt{0,09}$ ifadesinin sonucunu bulalım.
$\displaystyle \sqrt{0,09} = \sqrt{\frac{9}{100}}$ ;payı ve paydayı ayrı ayrı kök içinde gösterebiliriz.
$\displaystyle = \frac{ \sqrt{9}}{ \sqrt{100}}$ ;payı ve payda ayrı ayrı kök dışına çıkarılır.
$\displaystyle = \frac{3}{10}$ ;sonucu ondalığa çevirelim.
$\displaystyle = 0,3$
GERÇEL SAYILAR
Doğal Sayılar: Sıfırdan başlayıp birer birer artarak sonsuza kadar giden sayılardır.
$\displaystyle \mathbb{N}=\left \{ 0,1,2,3,… \right \}$ şeklinde ki sayılar.
Tam Sayılar: Doğal sayılara negatif tam sayılar eklendiğinde tam sayılar oluşur.
$\displaystyle \mathbb{Z}=\left \{ …,-3,-2,-1,0,1,2,3,… \right \}$ şeklindeki sayılar.
Rasyonel Sayılar: $a$ ve $b$ birer tam sayı ve $\displaystyle b\neq 0$ olmak üzere $\displaystyle \frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. $\displaystyle \mathbb{Q}$ harfi ile gösterilir.
→ İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılardır.
→ $\displaystyle \frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır.
Devirli ondalık sayılar rasyonel sayılardır.
$\displaystyle a,b \overline{cd} = \frac{abcd-ab}{990}$
Irrasyonel Sayılar: Rasyonel olmayan sayılardır. $\displaystyle \mathbb{I}$ harfi ile gösterilir.
→ İki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılardır.
→ $\displaystyle \frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır.
→ Karekök dışına çıkmayan sayılardır.
Gerçel (Reel) Sayılar: Hem rasyonel hemde irrasyonel sayılardan oluşan sayı kümesine gerçel sayılar denir. $\displaystyle \mathbb{R}$ harfi ile gösterilir.
Sayı kümeleri sıralaması aşağıdaki gibidir.
$\displaystyle \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
$\displaystyle \mathbb{I} \subset \mathbb{R}$
Yani;
Doğal sayılar aynı zamanda birer tam sayıdır, tam sayılar aynı zamanda paydası 1 olan rasyonel sayılardır, rasyonel sayılar aynı zamanda gerçel sayılardır. irrasyonel sayılarda aynı zamanda birer gerçel sayılardır.
Bir sayı hem rasyonel hemde irrasyonel olamaz.
M.8.1.3.1. Tam kare pozitif tam sayılarla bu sayıların karekökleri arasındaki ilişkiyi belirler.
M.8.1.3.2. Tam kare olmayan kareköklü bir sayının hangi iki doğal sayı arasında olduğunu belirler.
M.8.1.3.3. Kareköklü bir ifadeyi a b şeklinde yazar ve a b şeklindeki ifadede katsayıyı kök içine alır.
M.8.1.3.4. Kareköklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemlerini yapar.
M.8.1.3.5. Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini yapar.
M.8.1.3.6. Kareköklü bir ifade ile çarpıldığında, sonucu bir doğal sayı yapan çarpanlara örnek verir.
M.8.1.3.7. Ondalık ifadelerin kareköklerini belirler.
M.8.1.3.8. Gerçek sayıları tanır, rasyonel ve irrasyonel sayılarla ilişkilendirir.