8. Sınıf Matematik – Kareköklü İfadeler Konu Anlatımı

TAM KARE POZİTİF TAM SAYILARIN KAREKÖKÜ

Tanım: Bir sayının, hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemine karekök alma işlemi denir.

Karekök sembolü “karekök” ile gösterilir. $9$ sayısının karekökü $\displaystyle \sqrt{9}$ şeklinde yazılır ve “karekök dokuz” ya da “dokuzun karekökü” şeklinde okunur.

Örnek: $9$ sayısı hangi sayının karesidir? tabiki $3$ ün karesidir. yani $\displaystyle \sqrt{9}=3$ tür.

Tanım: “Pozitif tam sayıların karesi olan sayılara tam kare sayılar denir.” ya da “Karekökü pozitif tam sayı olan sayılara tam kare sayılar denir.”

Tam kare sayılardan en çok kullanılanları bulalım.

12 = 1 62 = 36 112 = 121 162 = 256 212 = 441 302 = 900
22 = 4 72 = 49 122 = 144 172 = 289 222 = 484 402 = 1600
32 = 9 82 = 64 132 = 169 182 = 324 232 = 529 502 = 2500
42 = 16 92 = 81 142 = 196 192 = 361 242 = 576 602 = 3600
52 = 25 102 = 100 152 = 225 202 = 400 252 = 625 1002 = 10000

$\displaystyle \sqrt{25}=5$
$\displaystyle \sqrt{144}=12$
$\displaystyle \sqrt{289}=17$

$\displaystyle \sqrt{49}=7$
$\displaystyle \sqrt{169}=13$
$\displaystyle \sqrt{324}=18$

$\displaystyle \sqrt{100}=10$
$\displaystyle \sqrt{225}=15$
$\displaystyle \sqrt{625}=25$

Örnek: $\displaystyle 10·10=100$ ve $\displaystyle (-10)·(-10)=100$ karesi $100$ olan sayılar $10$ ve $-10$ dur. $\displaystyle \sqrt{100}=10$ dur.

Not: Bir sayının karekökü negatif olamaz. $\displaystyle \sqrt{m^{2}}=\left |m \right |$

Not: Bir kenar uzunluğu $\displaystyle a$ olan bir karenin alanı $\displaystyle a^{2}$ dir. Alanı $\displaystyle a^{2}$ olan karenin bir kenarı $\displaystyle a$ dır. Yani bir karede alanın karekökü karenin bir kenarına eşittir.

TAM KARE OLMAYAN SAYILARIN KAREKÖKLERİN HANGİ İKİ DOĞAL SAYI ARASINDA OLDUĞUNU BULMA

Tam kare olmayan doğal sayıların hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bulmak için karekök içindeki sayıya en yakın kendisinden küçük ve büyük tam kare sayılar bulur ve karekök içinde gösterilerek eşitsizlik şeklinde yazılır. Daha sonra bu tamkare sayıların karekökleri alındığında bu sayının hangi iki doğal sayı arasında olduğu bulunur.

Örnek: $\displaystyle \sqrt{15}$ sayısı hangi iki doğal sayı arasındadır?
$\displaystyle 15$’e en yakın tamkare sayılar $9$ ve $16$ dır. yani
$\displaystyle \sqrt{9}<\sqrt{15}<\sqrt{16}$ şeklinde yazılabilir. Daha sonra $9$ ve $16$ karekök dışına çıkarılır
$\displaystyle 3<\sqrt{15}<4$ şeklinde yazılır ve $\displaystyle \sqrt{15}$ sayısı $3$ ile $4$ arasındadır.

Örnek: $\displaystyle \sqrt{50}$ sayısı hangi iki doğal sayı arasındadır?
$50$ sayısı $49$ ve $64$ tamkare sayıları arasındadır. Buradan
$\displaystyle \sqrt{49}<\sqrt{50}<\sqrt{64}$ şeklinde yazılabilir. Daha sonra $49$ ve $64$ karekök dışına çıkarılır
$\displaystyle 7<\sqrt{50}<8$ şeklinde yazılır ve $\displaystyle \sqrt{50}$ sayısı $7$ ile $8$ arasındadır.

TAM KARE OLMAYAN KAREKÖKLÜ İFADEYİ $\displaystyle a\sqrt{b}$ ŞEKLİNDE YAZMA

Tam kare olmayan sayılar kök dışına tamamen çıkamazlar ancak karekök içindeki doğal sayı biri tamkare olacak şekilde iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Tam kare sayı kök dışına katsayı olarak çıkarılır ve diğer sayıda kök içinde kalır.

Örnek: $\displaystyle \sqrt{12}$ sayısını $\displaystyle \large a\sqrt{b}$ şeklinde yazalım.
$12$ sayısını çarpım şeklinde yazalım (çarpanların biri tamkare olmalı)
$\displaystyle \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}$ daha sonra $4$ sayısı karekök dışına $2$ olarak çıkarılır. $\displaystyle \sqrt{12}=2\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$ olur.

Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
$\displaystyle \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$
$\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$
$\displaystyle \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$
$\displaystyle \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}$
$\displaystyle \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$
$\displaystyle \sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$
$\displaystyle \sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}$
$\displaystyle \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$
$\displaystyle \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$
$\displaystyle \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$
$\displaystyle \sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$
$\displaystyle \sqrt{90}=\sqrt{9\cdot 10}=3\sqrt{10}$
$\displaystyle \sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$

KAREKÖKLÜ İFADENİN KATSAYISINI KAREKÖK İÇİNE ALMA

Kareköklü ifadenin katsayısını karekök içine alırken karesi alınarak karekök içindeki sayı ile çarpılır.
$\displaystyle a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}\cdot b}$
Örnek: $\displaystyle 2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}\cdot 3}$
                        $\displaystyle =\sqrt{4\cdot 3}$
                        $\displaystyle =\sqrt{12}$
Örnek: $\displaystyle 3\sqrt{2}=\sqrt{3^{2}\cdot 2}$
                        $\displaystyle =\sqrt{9\cdot 2}$
                        $\displaystyle =\sqrt{18}$

KAREKÖKLÜ İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ

Kareköklü sayılar çarpılırken katsayılar kendi aralarında çarpılıp katsayı olarak, kök içindeki sayılar kendi aralarında çarpılıp kök içine yazılır.

$\displaystyle a\sqrt{b}\cdot c\sqrt{d} = a\cdot c\sqrt{b\cdot d}$

$\displaystyle \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}= \sqrt{a\cdot b}$

$\displaystyle a\sqrt{c}\cdot \sqrt{d}= a\sqrt{c\cdot d}$

$\displaystyle \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}= a$

Örnek: $\displaystyle 2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{5}$ çapma işlemini yapalım.

$\displaystyle 2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{5} = 2\cdot 3\sqrt{3\cdot 5}=6 \sqrt{15}$

KAREKÖKLÜ İFADELERDE BÖLME İŞLEMİ

Kareköklü sayılar bölünürken katsayılar bölünür katsayı olarak, kök içindeki sayılar bölünür tek kök içine yazılır.
$\displaystyle \frac{a\sqrt{x}}{b\sqrt{y}}=\frac{a}{b}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}$

Örnek: $\displaystyle \frac{6\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$ işleminin sonucunu bulalım.

$\displaystyle \frac{6\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}=\frac{6}{3}\cdot \sqrt{\frac{10}{2}}=2\sqrt{5}$

KAREKÖKLÜ İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ

Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri yapabilmek için karekök içinde ki sayıların aynı olması gerekir. Aynı değilse kareköklü ifade $\displaystyle a\sqrt{b}$ şeklinde yazılmalıdır. Daha sonra kareköklü sayıların katsayıları toplanır yada çıkarılır eşit kareköke katsayı olarak yazılır.
$\displaystyle a\sqrt{x}+b\sqrt{x}= (a+b)\cdot \sqrt{x}$
$\displaystyle a\sqrt{x}-b\sqrt{x}= (a-b)\cdot \sqrt{x}$

Örnek: $\displaystyle 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}$ işleminin sonucunu bulalım.

$\displaystyle 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}= (2+5)\cdot \sqrt{3} = 7 \sqrt{3}$

Örnek: $\displaystyle 6\sqrt{2}-2\sqrt{2}$ işleminin sonucunu bulalım.

$\displaystyle 6\sqrt{2}-2\sqrt{2}= (6-2)\cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

Örnek: $\displaystyle \sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{108}$ işleminin sonucunu bulalım.

Karekök içleri aynı olmadığı için bu sayıları $\displaystyle a\sqrt{b}$ şekline çevirip işlemleri yapabiliriz.
$\displaystyle \sqrt{75}= \sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$
$\displaystyle \sqrt{48}= \sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$
$\displaystyle \sqrt{108}= \sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}$

$\displaystyle \sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{108}= 5 \sqrt{3}+4 \sqrt{3}-6 \sqrt{3}$
$\displaystyle =(5+4-6)\sqrt{3}$
$\displaystyle =3\sqrt{3}$

KAREKÖKLÜ İFADEYİ DOĞAL SAYI YAPAN ÇARPANLAR

Herhangi bir kareköklü sayıyı $\displaystyle a\sqrt{b}$ şeklinde gösterdikten sonra karekök içindeki sayı($\displaystyle \sqrt{b}$) ile çarparsak sonuç bir doğal sayı olur.
$\displaystyle \sqrt{b}\cdot \sqrt{b} = b$ olduğu için $\displaystyle a\sqrt{b}\cdot \sqrt{b} = a\cdot b$ olur.

Örnek: $\displaystyle \sqrt{12}$ sayısını hangi sayı ile çarparsak sonuç doğal sayı olur?
$\displaystyle \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}$ olduğundan kareköklü kısım $\displaystyle \sqrt{3}$ tür. Yani bu sayısı $\displaystyle \sqrt{3}$ ile çarparsak sonuç doğal sayı olur.
$\displaystyle 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2\cdot 3 = 6$

Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

Sayı $\displaystyle a\sqrt{b}$ hali Doğal Sayı Yapan Değer İşlem Sonuç
$\displaystyle \sqrt{20}$ $\displaystyle 2\sqrt{5}$ $\displaystyle \sqrt{5}$ $\displaystyle 2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=2 \cdot 5$ $10$
$\displaystyle \sqrt{32}$ $\displaystyle 4\sqrt{2}$ $\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle 4 \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4 \cdot 2$ $8$
$\displaystyle \sqrt{6}$ $\displaystyle \sqrt{6}$ $\displaystyle \sqrt{6}$ $\displaystyle \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}=6$ $6$
$\displaystyle \sqrt{90}$ $\displaystyle 3\sqrt{10}$ $\displaystyle \sqrt{10}$ $\displaystyle 3 \sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=3 \cdot 10$ $30$

 

Not: $\displaystyle a\sqrt{b}$ gibi kareköklü bir ifadeyi $\displaystyle \sqrt{b}$ ifadesi ile çarpılarak sonuç doğal sayı olur. Ancak sadece doğal sayı yapan ifade $\displaystyle \sqrt{b}$ değildir. $\displaystyle a\sqrt{b}$ ifadesi ile $\displaystyle c\sqrt{b}$ gibi karekök içleri aynı olan başka bir kareköklü sayı ile çarparsakta sonuç doğal sayı olur.

ONDALIK GÖSTERİMLERİN KAREKÖKÜ

Ondalık gösterimlerin karekökleri alınırken önce rasyonel hale dönüştürülür daha sonra pay ayrı payda ayrı kök dışına çıkarılabilir.

Örnek: $\displaystyle \sqrt{0,09}$ ifadesinin sonucunu bulalım.
$\displaystyle \sqrt{0,09} = \sqrt{\frac{9}{100}}$ ;payı ve paydayı ayrı ayrı kök içinde gösterebiliriz.
                $\displaystyle = \frac{ \sqrt{9}}{ \sqrt{100}}$ ;payı ve payda ayrı ayrı kök dışına çıkarılır.
                $\displaystyle = \frac{3}{10}$ ;sonucu ondalığa çevirelim.
                $\displaystyle = 0,3$

GERÇEL SAYILAR

Doğal Sayılar: Sıfırdan başlayıp birer birer artarak sonsuza kadar giden sayılardır.
$\displaystyle \mathbb{N}=\left \{ 0,1,2,3,… \right \}$ şeklinde ki sayılar.

Tam Sayılar: Doğal sayılara negatif tam sayılar eklendiğinde tam sayılar oluşur.
$\displaystyle \mathbb{Z}=\left \{ …,-3,-2,-1,0,1,2,3,… \right \}$ şeklindeki sayılar.

Rasyonel Sayılar: $a$ ve $b$ birer tam sayı ve $\displaystyle b\neq 0$ olmak üzere $\displaystyle \frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. $\displaystyle \mathbb{Q}$ harfi ile gösterilir.
→ İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılardır.
→ $\displaystyle \frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır.

Devirli ondalık sayılar rasyonel sayılardır.
$\displaystyle a,b \overline{cd} = \frac{abcd-ab}{990}$

Irrasyonel Sayılar: Rasyonel olmayan sayılardır. $\displaystyle \mathbb{I}$ harfi ile gösterilir.
→ İki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılardır.
→ $\displaystyle \frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır.
→ Karekök dışına çıkmayan sayılardır.

Gerçel (Reel) Sayılar: Hem rasyonel hemde irrasyonel sayılardan oluşan sayı kümesine gerçel sayılar denir. $\displaystyle \mathbb{R}$ harfi ile gösterilir.

Sayı kümeleri sıralaması aşağıdaki gibidir.
$\displaystyle \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
$\displaystyle \mathbb{I} \subset \mathbb{R}$

gerçel sayılar

Yani;
Doğal sayılar aynı zamanda birer tam sayıdır, tam sayılar aynı zamanda paydası 1 olan rasyonel sayılardır, rasyonel sayılar aynı zamanda gerçel sayılardır. irrasyonel sayılarda aynı zamanda birer gerçel sayılardır.
Bir sayı hem rasyonel hemde irrasyonel olamaz.

Bunları da beğenebilirsin