7. Sınıf Matematik – Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı

RASYONEL SAYI NEDİR?

$a$ ve $b$ birer tam sayı ve $\displaystyle b\neq 0$ olmak üzere $\displaystyle \frac{a}{b}$  şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar $\displaystyle \mathbb{Q}$  ile gösterilir.

Örnek: $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{3}{4},-\frac{2}{5},5, 0,-6,2.\overline{3}, …$  sayıları birer rasyonel sayıdır.

Not: Her tam sayı paydası 1 olan rasyonel sayıdır.
 
Not: Herhangi bir negatif rasyonel sayının $-$ işareti pay, payda veya kesir çizgisi önüne yazılabilir. Yani bu üç durumda yazılan rasyonel sayılar birbirine eşittir.
$\displaystyle -\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}$

RASYONEL SAYILARIN SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERİMİ 

Basit kesir olan rasyonel sayılar sayı doğrusunda 0 ile 1 arasında gösterilir. Bu aralık payda kadar eşit parçaya bölündükten sonra 0 dan sonraki bölümden itibaren pay kadar sayılarak sayı doğrusunda rasyonel sayının yeri belirlenir.

Örnek: $\displaystyle \frac{1}{2}$ sayısını sayı doğrusunda gösterelim. bir bölü iki sayı dogrusu
Basit kesir olduğu için 0 ile 1 arası 2 eşit parçaya bölünecek ve 1. parça seçilecektir.

Örnek: $\displaystyle \frac{3}{5}$ sayısını sayı doğrusunda gösterelim. uc bölü bes sayı dogrusu
Basit kesir olduğu için 0 ile 1 arası 5 eşit parçaya bölünecek ve 3. parça seçilecektir.

Not: Negatif Basit kesirler 0 ile -1 arasındadır.
Pozitif sayıları sayı doğrusunda gösterirken 0 dan sağa doğru seçiyorduk şimdi negatif rasyonel sayılar için 0 dan sola doğru seçim yapacağız.

Örnek: $\displaystyle -\frac{2}{3}$ sayısını sayı doğrusunda gösterelim. eksi iki bölü uc sayı dogrusu
Basit kesir olduğu için 0 ile -1 arası 3 eşit parçaya bölünecek ve 2. parça seçilecektir.

Rasyonel sayıları sayı doğrusunda göstermek için önce tam sayılı kesre çevirmek gerekir. Rasyonel sayı pozitif ise tam kısımla bir fazlası arası paydadaki sayı kadar eşit parçalara bölünüp pay kısmındaki sayı kadarı seçilecektir.

Örnek: $\displaystyle \frac{8}{3}$ sayısını sayı doğrusunda gösterelim.sekiz bölü üc sayı dogrusu

$\displaystyle \frac{8}{3}=2 \frac{2}{3}$  olduğundan sayı doğrusunda 2 ile 3 arasındadır. Daha sonra basit kesir kısmını bu aralıkta göstereceğiz.

Not: Sayı doğrusu dizilişinde olduğu gibi negatif rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterirken sola doğru seçim yapılacaktır.

Örnek: $\displaystyle -\frac{7}{4}$  sayısını sayı doğrusunda gösterelim. eksi yedi bölü drt sayı dogrusu

$\displaystyle -\frac{7}{4}=-1\frac{3}{4}$ olduğundan bu sayı -1 ile -2 arasındadır.

RASYONEL SAYILARIN ONDALIK GÖSTERİMİ

Rasyonel sayılar ondalık gösterime çevrilmesi için paydaları 10 un kuvvetleri şeklinde olması gerekir. Bunun için genişletme ve sadeleştirmeler kullanılır. Ancak bazı sayıların paydası 10 un kuvvetlerine genişletilemez bu durumda pay paydaya bölünerek rasyonel sayı devirli olarak gösterilir.

Örnek: $\displaystyle \frac{1}{2},\frac{2}{5},\frac{3}{4},\frac{7}{20},\frac{16}{25},\frac{33}{50},\frac{5}{2},\frac{7}{4},\frac{24}{15}$ rasyonel sayılarını ondalık gösterime çevirelim.

$\displaystyle \underset{(5)}{\frac{1}{2}}= \frac{5}{10}= 0,5$

$\displaystyle \underset{(2)}{\frac{2}{5}}= \frac{4}{10}= 0,4$

$\displaystyle \underset{(25)}{\frac{3}{4}}= \frac{75}{100}= 0,75$

$\displaystyle \underset{(5)}{\frac{7}{20}}= \frac{35}{100}= 0,35$

$\displaystyle \underset{(4)}{\frac{16}{25}}= \frac{64}{100}= 0,64$

$\displaystyle \underset{(2)}{\frac{33}{50}}= \frac{66}{100}= 0,66$

$\displaystyle \underset{(5)}{\frac{5}{2}}= \frac{25}{10}= 2,5$

$\displaystyle \underset{(25)}{\frac{7}{4}}= \frac{175}{100}= 1,75$

$\displaystyle \frac{24\div 3}{15\div 3}=\underset{(2)}{\frac{8}{5}}=\frac{16}{10}=1,6$

Örnek: $\displaystyle \frac{2}{3},\frac{7}{9},\frac{5}{11},\frac{2}{15},\frac{13}{6},\frac{19}{15}$  rasyonel sayılarını ondalık gösterime çevirelim.

! Dikkat edilirse bu rasyonel sayılar genişletme ve sadeleştirmeyle paydaları 10 un kuvvetine çevrilemezler bu yüzden payı  paydaya bölünerek devirli olarak sayılar gösterilebilir.

$\displaystyle \frac{2}{3}=0,666…=0,\overline{6}$

$\displaystyle \frac{7}{9}=0,777…=0,\overline{7}$

$\displaystyle \frac{5}{11}=0,454545…=0,\overline{45}$

$\displaystyle \frac{2}{15}=0,13333…=0,1\overline{3}$

$\displaystyle \frac{13}{6}=2,161616…=2,\overline{16}$

$\displaystyle \frac{19}{15}=1.26666…=1,2\overline{6}$

ONDALIK GÖSTERİMLERİ VE DEVİRLİ ONDALIK SAYILARI RASYONEL SAYIYA ÇEVİRME

Bir ondalık gösterimi rasyonel sayıya çevirmek virgül yokmuş gibi sayının tamamını paya, virgülden sonraki basamak sayısı kadar 1 in yanına 0 konularak paydaya yazılır. Yada (Ondalık gösterimin tam kısmını tam sayı olarak, virgülden sonraki sayıyı paya, virgülden sonraki basamak sayısı kadar 1 in yanına 0 konularak paydaya yazılır.)

$\displaystyle \left.\begin{matrix} 0,5=\frac{5}{10}\\ \\ 1,5=\frac{15}{10}\\ \\2,23=\frac{223}{100}\\\\5,125=\frac{5125}{1000} \end{matrix}\right\}$ Böyle bileşik kesir elde edilir.

$\displaystyle \left.\begin{matrix} 0,8=\frac{8}{10}\\ \\ 1,5=1\frac{5}{10}\\ \\2,23=2\frac{23}{100}\\ \\5,125=5\frac{125}{1000}\end{matrix}\right\}$ Böylede tam sayılı kesir elde edilir.

Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirmek için bir kaç yöntem var en genelini öğrendiğimizde hata yapmayız.

Devirli ondalık sayı

Örnekler:  $\displaystyle 0,\overline{5}=\frac{5-0}{9}=\frac{5}{9}$

$\displaystyle 0,1\overline{8}=\frac{18-1}{90}=\frac{17}{90}$

$\displaystyle 0,\overline{153}=\frac{153-0}{999}=\frac{153}{999}$

$\displaystyle 1,\overline{4}=\frac{14-1}{9}=\frac{13}{9}$

$\displaystyle 2,56\overline{4}=\frac{2564-256}{900}=\frac{2308}{900}$

$\displaystyle 2,1\overline{5}=\frac{215-21}{90}=\frac{194}{90}$

$\displaystyle 1,2\overline{34}=\frac{1234-12}{990}=\frac{1222}{990}$

$\displaystyle 2,\overline{56}=\frac{256-2}{99}=\frac{254}{99}$

 

Bunları da beğenebilirsin