7. Sınıf Matematik – Tam Sayılarla İşlemler Konu Anlatımı

Tam Sayı: $\displaystyle \mathbb{Z} = \left \{ …,-3,-2,-1,0,1,2,3,… \right \}$  kümesinin elemanlarının herbirine bir tam sayı denir.  $\displaystyle \mathbb{Z}$ harfi ile gösterilir.

TAM SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ

Aynı işaretli tam sayılar toplanırken sayılar toplanır ve sayıların ortak işareti toplamın işareti olarak yazılır.

Örnek: $\displaystyle \left (+3 \right )+\left ( +6 \right )$  işleminde sayılar aynı işaretli olduğu için $3+6=9$ sayıların işaretleri $+$ olduğu için cevap $+9$ olacaktır. Yani; $\displaystyle \left (+3 \right )+\left ( +6 \right )=+9$ olur.

Örnek: $\displaystyle \left (-5 \right )+\left ( -7 \right )$ işleminde sayılar aynı işaretli olduğu için $5+7=12$ sayıların işaretleri $-$ olduğu için cevap $-12$ olacaktır. Yani; $\displaystyle \left (-5 \right )+\left ( -7 \right )=-12$  olur.

Zıt işaretli tam sayılar toplanırken sayıların işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti toplamın işareti olarak yazılır.

Örnek: $\displaystyle \left (+4 \right )+\left ( -9 \right )$  işleminde sayılar zıt işaretli olduğu için işaretlerine bakılmaksızın büyükten küçük çıkarılır $9-4=5$ olur. Daha sonra büyüğün işareti $-$ olduğu için cevap $-5$ olacaktır. Yani; $\displaystyle \left (+4 \right )+\left ( -9 \right )=-5$ olur.

Örnek: $\displaystyle \left (-6 \right )+\left ( +13 \right )$  işleminde sayılar zıt işaretli olduğu için işaretlerine bakılmaksızın büyükten küçük çıkarılır $13-6=7$ olur. Daha sonra büyüğün işareti $+$ olduğu için cevap $+7$ olacaktır. Yani; $\displaystyle \left (-6 \right )+\left ( +13 \right )=+7$ olur.

TAM SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Değişme Özelliği: Tam sayılarla toplama işlemi yapılırken toplanan sayıların yerlerinin değişmesi toplamı değiştirmez. Bu yüzden tam sayılarla toplama işleminin değişme özelliği vardır.
$x$ ve $y$ birer tam sayı olsun $x+y=y+x$ dır.

Birleşme Özelliği: Üç tam sayı toplanırken ilk iki tam sayının toplamı ile üçüncü tam sayının toplamı, son iki tam sayının toplamı ile ilk tam sayının toplamı birbirine eşittir. Bu yüzden tam sayılarla toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
$x$, $y$ ve $z$ birer tam sayı olsun $(x+y)+z=x+(y+z)$ dir.

Etkisiz Eleman Özelliği: Herhangi bir tam sayı ile sıfırı topladığımızda toplam verilen tam sayıdır. Bu yüzden tam sayılarla toplama işleminin etkisiz elemanı (birim elemanı) $0$ (sıfır) dır.
$x$ bir tam sayı olsun $x+0=0+x=x$ dir.

Ters Eleman Özelliği: İki tam sayının toplamı sıfır oluyorsa bu tam sayılar toplama işlemine göre birbirinin tersidir.
$x$ ile $y$ birer tam sayı olsun $x+y=0$ ise $x$ i karşıya atarsak $y=-x$ olur o halde başlangıçta kullanılan sayılar $x$ ve $-x$ tir.
$x+(-x)=0$ olduğundan $x$ tam sayısının toplama işlemine göre tersi $-x$ dir.

TAM SAYILARLA ÇIKARMA İŞLEMİ

Eksilen $-$ Çıkan $=$ Fark (Sonuç)
Tam sayılarla çıkarma işlemi yapılırken çıkan sayının işareti değiştirilip eksilen sayı ile toplanır.

Örnek: $\displaystyle \left (+8 \right )-\left ( +4 \right )$  işleminde çıkan sayı $+4$ eksilen sayı $+8$ dir. Çıkan sayının işaretini değiştirip eksilenle toplarsak $\displaystyle \left (+8 \right )+\left ( -4 \right )$  şeklinde olur. Artık bir toplama işlemine dönüştürmüş oluruz ve toplama işlemi kurallarını uygularsak $\displaystyle \left (+8 \right )+\left ( -4 \right )=+4$ olur.

Örnek: $\displaystyle \left (+15 \right )-\left ( -7 \right )$  işleminde çıkan sayı $+15$ eksilen sayı $-7$ dir. Çıkan sayının işaretini değiştirip eksilenle toplarsak $\displaystyle \left (+15 \right )+\left ( +7 \right )$  şeklinde olur. Artık bir toplama işlemine dönüştürmüş oluruz ve toplama işlemi kurallarını uygularsak $\displaystyle \left (+15 \right )+\left ( +7 \right )=+22$ olur.

Örnek: $\displaystyle \left (-13 \right )-\left ( -9 \right )$  işleminde çıkan sayı $-13$ eksilen sayı $-9$ dir. Çıkan sayının işaretini değiştirip eksilenle toplarsak $\displaystyle \left (-13 \right )+\left ( +9 \right )$  şeklinde olur. Artık bir toplama işlemine dönüştürmüş oluruz ve toplama işlemi kurallarını uygularsak $\displaystyle \left (-13 \right )+\left ( +9 \right )=-4$ olur.

TAM SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ

Aynı işaretli tam sayıların çarpımı pozitiftir.
$\displaystyle \left ( + \right )\cdot \left ( + \right )=+$
$\displaystyle \left ( – \right )\cdot \left ( – \right )=+$

Örnekler:
$\displaystyle \left ( +3 \right )\cdot \left ( +2 \right )=+6$ 
$\displaystyle \left ( -7 \right )\cdot \left ( -4 \right )=+28$

Zıt işaretli tam sayıların çarpımı negatiftir.
$\displaystyle \left ( + \right )\cdot \left ( – \right )=-$
$\displaystyle \left ( – \right )\cdot \left ( + \right )=-$

Örnekler:
$\displaystyle \left ( +5 \right )\cdot \left ( -4 \right )=-20$ 
$\displaystyle \left ( -3 \right )\cdot \left ( +7 \right )=-21$ 

TAM SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Değişme Özelliği: Tam sayılarla çarpma işlemi yapılırken çarpanların yerlerinin değişmesi çarpımı değiştirmez. Bu yüzden tam sayılarla çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
$x$ ve $y$ birer tam sayı olsun $x \cdot y=y \cdot x$ dır.

Birleşme Özelliği: Üç tam sayı çarpılırken ilk iki tam sayının çarpımı ile üçüncü tam sayının çarpımı, son iki tam sayının çarpımı ile ilk tam sayının çarpımı birbirine eşittir. Bu yüzden tam sayılarla çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
$x$, $y$ ve $z$ birer tam sayı olsun $(x \cdot y) \cdot z=x \cdot (y \cdot z)$ dir.

Etkisiz Eleman Özelliği: Herhangi bir tam sayının 1 ile çarpımı o sayıya eşittir. Bu yüzden tam sayılarla çarpma işleminin etkisiz elemanı (birim elemanı) $1$ (bir) dir.
$x$ bir tam sayı olsun $x \cdot 1=1 \cdot x=x$ dir.

Yutan Eleman Özelliği: Herhangi bir tam sayının 0 ile çarpımı daima sıfırdır. Bu yüzden tam sayılarla çarpma işleminin yutan elemanı $01$ (sıfır) dır.
$x$ bir tam sayı olsun $x \cdot 0=0 \cdot x=0$ dır.

Dağılma Özelliği: Tam sayılarla çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır.
$x$, $y$ ve $z$ birer tam sayı olsun;
$\displaystyle x\cdot \left ( y+z \right ) = x\cdot y+x\cdot z$
$\displaystyle x\cdot \left ( y-z \right ) = x\cdot y-x\cdot z$  dir.

TAM SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ

Aynı işaretli tam sayıların bölümü pozitiftir.
$\displaystyle \left ( + \right )\div \left ( + \right )=+$
$\displaystyle \left ( – \right )\div \left ( – \right )=+$

Örnekler:
$\displaystyle \left ( +15 \right )\div \left ( +3 \right )=+5$ 
$\displaystyle \left ( -21 \right )\div \left ( -7 \right )=+3$

Zıt işaretli tam sayıların bölümü negatiftir.
$\displaystyle \left ( + \right )\div \left ( – \right )=-$
$\displaystyle \left ( – \right )\div \left ( + \right )=-$

Örnekler:
$\displaystyle \left ( +16 \right )\div \left ( -4 \right )=-4$ 
$\displaystyle \left ( -20 \right )\div \left ( +4 \right )=-5$ 

TAM SAYILARIN POZİTİF TAM SAYI KUVVETLERİ

Bir tam sayının kendisi ile tekrarlı çarpımı üslü nicelik olarak adlandırılır. Bir a sayısının n tane yanyana yazılıp çarpılmasına $a$ üzeri $n$ denir ve $\displaystyle a^{n}$ ile gösterilir. $\displaystyle a^{n}$   ifadesinde $a$ taban, $n$ kuvvet (üs) olarak adlandırılır.

Örnek: $\displaystyle 3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$ (4 tane 3’ün yanyana çarpımı)

Temel Kurallar:

  • Bir sayının tüm kuvvetleri bir’dir.  $\displaystyle 1^{n}=1$
$\displaystyle 1^{5}=1$

$\displaystyle 1^{100}=1$

$\displaystyle 1^{2019}=1$

  • Sıfır dışındaki tüm tam sayıların sıfırıncı kuvveti bire eşittir. $\displaystyle a\neq 0$ olmak üzere $\displaystyle a^{0}=1$
$\displaystyle 56^{0}=1$

$\displaystyle 2019^{0}=1$

$\displaystyle (-9)^{0}=1$

  • Sıfırın pozitif tam sayı kuvvetleri sıfırdır. $\displaystyle n> 0$ olmak üzere $\displaystyle 0^{n}=0$  dır.
$\displaystyle 0^{5}=0$

$\displaystyle 0^{26}=0$

$\displaystyle 0^{567}=0$

$\displaystyle 0^{1999}=0$

  • Tüm tam sayıların birinci kuvveti kendisine eşittir. $\displaystyle a^{1}=a$

$\displaystyle 5^{1}=5$

$\displaystyle (-2)^{1}=-2$

$\displaystyle 2020^{1}=2020$

$\displaystyle (-2016)^{1}=-2016$

  • Negatif sayıların; Tek kuvvetleri negatif, Çift kuvvetleri pozitiftir.
$\displaystyle \left ( -3 \right )^{3}=\left (-3 \right )\cdot\left (-3 \right )\cdot \left (-3 \right )=-27$

$\displaystyle \left ( -3 \right )^{4}=\left (-3 \right )\cdot\left (-3 \right )\cdot \left (-3 \right )\cdot \left (-3 \right )=+81$

  • $(–1)$ sayısının; Tek kuvvetleri $(–1)$, Çift kuvvetleri $(+1)$ dir.
$\displaystyle \left (-1 \right )^{3}=\left ( -1 \right )\cdot \left ( -1 \right )\cdot \left ( -1 \right )=-1$

$\displaystyle \left (-1 \right )^{2}=\left ( -1 \right )\cdot \left ( -1 \right )=+1$

  • Pozitif tam sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.

TAM SAYI PROBLEMLERİ

Tam sayılarla işlem yapmayı gerektiren problemleri çözerken aşağıdaki sıraya göre hareket etmeliyiz.
→ Problemi anlama
→ Plan yapma
→ Planı uygulama
→ Problemi kontrol etme

 

Bunları da beğenebilirsin