8. Sınıf Matematik – Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler Konu Anlatımı

CEBİRSEL İFADE

$\displaystyle x+1$  ifadesi cebirsel ifadedir.
$\displaystyle 3a-5$  ifadesi cebirsel ifadedir.
$\displaystyle 2m^{2}+5m-9$  ifadesi cebirsel ifadedir.
$\displaystyle x^{2}-1$  ifadesi cebirsel ifadedir.
$\displaystyle 3\cdot 7+9$  ifadesi bir cebirsel ifade değildir.

Örnek: $\displaystyle 3x+7$  ifadesindesi kaç terimlidir? tabiki 2 terimlidir bunlar $\displaystyle 3x$  ve $\displaystyle 7$  dir.

Örnek: $\displaystyle 5a+6b-9$  ifadesindesi kaç terimlidir? tabiki 3 terimlidir bunlar  $\displaystyle 5a$ , $\displaystyle 6b$  ve $\displaystyle -9$  dur.

Örnek: $\displaystyle 3m\cdot 4n-5$ ifadesi kaç terimlidir? tabiki 2 terimlidir. 3 terimli sandınız değilmi? Burada çarpma ve çıkarma işareti var. terimler toplama ve çıkarma işaretleriyle birbirinden ayrılır bu yüzden $\displaystyle 3m\cdot 4n$  ve $\displaystyle -5$  birer terimdir.

Örnek: $\displaystyle 5x-4y+8$  cebirsel ifadesindeki katsayıları bulalım.
Burada önce terimlere ayırmamız gerekiyor. $\displaystyle 5x$  , $\displaystyle -4y$  ve $\displaystyle 8$  birer terimdir.
$\displaystyle 5x$ teriminde ki sayısal çarpan $5$ tir.
$\displaystyle -4y$ terimindeki sayısal çarpan $-4$ tür.
$\displaystyle 8$ terimindeki sayısal çarpan $8$ dir.

Katsayılar sırayla $5$ , $-4$ ve $8$ dir.

Örnek: $\displaystyle 6a-11$  cebirsel ifadesindeki $\displaystyle -11$ sabit terimdir.

Örnek: $\displaystyle 4x^{2}+7-5y$  cebirsel ifadesindeki $\displaystyle 7$  sabit terimdir.

Örnek: $\displaystyle 3x^{2}+5x-5x^{2}-9$  cebirsel ifadesindeki $\displaystyle 3x^{2}$  ve  $\displaystyle -5x^{2}$  terimleri benzerdir.

CEBİRSEL İFADELERİN ÇARPIMI

$\displaystyle a\cdot b = ab$

$\displaystyle x\cdot x = x^{2}$

$\displaystyle 3\cdot m=3m$

$\displaystyle 2x\cdot 3y=6xy$

Parantezli işlemlerde dağılma özellliği kurallarına göre çarpma işlemi yapılır.

$\displaystyle 4\cdot \left ( x+2 \right ) =$ $\displaystyle 4\cdot x+4\cdot 2=4x+8$

$\displaystyle 5\cdot \left ( x+y+z \right ) =$ $\displaystyle 5\cdot x+5\cdot y+5\cdot z=5x+5y+5z$

$\displaystyle x\cdot \left ( x+1 \right ) =$ $\displaystyle x\cdot x+x\cdot 1 = x^{2}+x$

$\displaystyle x\cdot \left ( 3x-5 \right ) =$ $\displaystyle x\cdot 3x-x\cdot 5 = 3x^{2}-5x$

$\displaystyle 3a\cdot \left ( 2a-5b \right ) =$ $\displaystyle 3a\cdot 2a-3a\cdot 5b=6a^{2}-15ab$

iki terimli iki cebirsel ifade çarpılırken “birinci ile birinci + birinci ile ikinci + ikinci ile birinci + ikinci ile ikinci”  şeklinde söylenerek çarpılırsa sırası karıştırılmaz ve doğru bir çarpma işlemi gerçekleştirmiş oluruz.

Örnek:
$\displaystyle \begin{align*} \left (x+1 \right )\cdot \left ( x+2 \right ) & = x\cdot x+x\cdot 2+1\cdot x+1\cdot2 \\ &= x^{2}+2x+x+2 \\ &= x^{2}+3x+2 \end{align*}$

Örnek:
$\displaystyle \begin{align*} \left (2a+3 \right )\cdot \left ( 3a-4 \right ) & = 2a\cdot 3a+2a\cdot \left ( -4 \right )+3\cdot 3a+3\cdot \left ( -4 \right ) \\ &= 6a^{2}-8a+9a-12 \\ &= 6a^{2}+a-12 \end{align*}$

Örnek:
$\displaystyle \begin{align*} \left (x+5 \right )\cdot \left (x-5 \right ) & = x\cdot x+x\cdot \left ( -5 \right )+5\cdot x+5\cdot \left (-5 \right ) \\ & = x^{2}-5x+5x-25 \\ & = x^{2}-25 \end{align*}$

ÖZDEŞLİKLERİN MODELLENMESİ

$\displaystyle 3x+6=3\cdot \left ( x+2 \right )$  ifadesi bir özdeşliktir bilinmeyen yerine hangi değeri verirseniz verin eşitlik bozulmaz.

$\displaystyle 2x+3=3x+2$  ifadesi bir özdeşlik değildir. $x=1$ için eşitlik sağlanır bunun dışında hiçbir değer için eşitlik sağlanmaz.

Örnek: Aşağıdaki eşitliklerden hangileri özdeşliktir belirleyiniz.

$\displaystyle 3a+8=5a$

$\displaystyle 4\cdot \left ( x+3 \right )-12=4x$

$\displaystyle 5\cdot (x-2)=5x-10$

$\displaystyle 2\cdot \left ( 3x-5 \right )+3\cdot \left ( 2-x \right )=3x-4$

$\displaystyle 4m+8=4\cdot \left ( m+8 \right )$

$\displaystyle 3x+5= 5x+3$

1. İki Terim Toplamının Karesi Özdeşliği

İki terimin toplamının karesi; birinci terimin karesi, birinci ve ikinci terimin çarpımının iki katı ve ikinci terimin karesinin toplamıdır.
$\displaystyle \left (a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Büyük karenin alanı içinde oluşan şekillerin alanları toplamına eşittir.
$\displaystyle \left (a+b \right )^{2} = a^{2}+a\cdot b+a\cdot b+b^{2}$
$\displaystyle \left (a+b \right )^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$ olur.

Örnekleri inceleyiniz.

$\displaystyle \left (x+1 \right )^{2}=x^{2}+2x+1$

$\displaystyle \left (2x+3 \right )^{2}=4x^{2}+12x+9$

$\displaystyle \left (3a+4b \right )^{2}=9a^{2}+24ab+16b^{2}$

$\displaystyle \left (x+5 \right )^{2}=x^{2}+10x+25^{2}$

2. İki Terim Farkının Karesi Özdeşliği

İki terimin farkının karesi; birinci terimin karesi, birinci ve ikinci terimin çarpımının iki katı ve ikinci terimin karesinin toplamıdır. (burada her terimi önündeki işaretiyle birlikte alacaksınız.)
$\displaystyle \left (a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Büyük karenin alanı içinde oluşan şekillerin alanları toplamına eşittir.
$\displaystyle a^{2}= \left ( a-b \right )^{2}+ab-b^{2}+ab-b^{2}+b^{2}$  buradan  $\displaystyle \left ( a-b \right )^{2}$ ifadesini yalnız bırakırsak
$\displaystyle \left ( a-b \right )^{2} = a^{2} -ab+b^{2}-ab+b^{2}-b^{2}$  olur ifade düzenlenirse
$\displaystyle \left ( a-b \right )^{2} = a^{2} -2ab+b^{2}$ olur.

Örnekleri inceleyiniz.

$\displaystyle \left (x-1 \right )^{2}=x^{2}-2x+1$

$\displaystyle \left (a-4 \right )^{2}=a^{2}-8a+16$

$\displaystyle \left (3x-2 \right )^{2}=9x^{2}-12a+4$

$\displaystyle \left (4m-3n \right )^{2}=16m^{2}-24mn+9n^{2}$

3. İki Kare Farkı Özdeşliği

İki terimin karelerinin farkı; bu iki terimin toplamı ile bu iki terimin farkının çarpımına eşittir.
$\displaystyle a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\cdot \left ( a-b \right )$

Burada büyük karenin alanından küçük karenin alanını çıkardığımızda oluşan şekli 2 eş parçaya ayırırsak bu parçalar dik yamuk şeklindedir. Bu iki dik yamuğu kesilen eş uzunluğu üst üste gelecek şekilde farklı bir birleştirmeyle yandaki dikdörtgen şekli oluşur bu dikdörtgenin alanıda iki karenin farkına eşittir.

Örnekleri inceleyiniz.

$\displaystyle x^{2}-1=x^{2}-1^{2}=\left (x+1 \right )\cdot \left ( x-1 \right )$

$\displaystyle a^{2}-9=a^{2}-3^{2}=\left (a+3 \right )\cdot \left ( a-3 \right )$

$\displaystyle 4m^{2}-n^{2} =\left (2m+n \right )\cdot \left ( 2m-n \right )$

$\displaystyle \frac{x^{2}}{9}-y^{2} =\left (\frac{x}{3}+y \right )\cdot \left ( \frac{x}{3}-y \right )$

$\displaystyle 25-16x^{2} =\left (5+4x \right )\cdot \left ( 5-4x \right )$

ÇARPANLARA AYIRMA

Cebirsel ifadeleri iki yada daha çok  ifadenin çarpımı şeklinde yazma işlemine Çarpanlara Ayırma denir.

1. Ortak Çarpan Parantezine Alma

Bir cebirsel ifadede her terimdeki ortak çarpanların parantezin dışına çarpım olarak alınmasına ortak çarpan parantezine alma denir.

Örnek: $2x+4$ ifadesini çarpanlarına ayıralım.
$\displaystyle 2x+4=2\cdot x+2\cdot 2$ $\displaystyle =2\cdot\left ( x+2 \right )$ şeklinde olur.

Örnekleri inceleyiniz.

$\displaystyle 4x+6y=2\cdot \left ( 2x+3y \right )$

$\displaystyle 12a-8b=4\cdot \left ( 3a-2b \right )$

$\displaystyle 5x^{2}+3x=x\cdot \left ( 5x+3 \right )$

$\displaystyle 14a^{3}-7a^{2}+21a=7a\cdot \left ( 2a^{2}-a+3 \right )$

$\displaystyle 6x^{2}y-9xy^{2}=3xy\cdot \left ( 2x-3y \right )$

2. Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma

a. Tam Kare Özdeşliklerinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma

Verilen cebirsel ifade üç terimli ise tam kare özdeşliği aranır. Baştaki ve sondaki terim tam kare şeklinde yazılır ortadakide baştaki ve sondaki terimin iki katı ise tam kare özdeşliği vardır denir.

$\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}= \left ( a+b \right )^{2}$

$\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}= \left ( a-b \right )^{2}$

Örnek: $\displaystyle x^{2}+4x+4= \left (x+2 \right )^{2}$ 

Örnek: $\displaystyle 4a^{2}-12a+9=\left (2a-3 \right )^{2}$ 

Örnek: $\displaystyle 16+40a+25a^{2}=\left ( 4+5a \right )^{2}$ 

b. İki Kare Farkı Özdeşliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma

Verilen ifade iki terimli ve ifadeler zıt işaretliyse iki kare farkı özdeşliği aranır.

$\displaystyle a^{2}-b^{2} = \left ( a-b \right )\cdot \left ( a+b \right )$

Örnek:
$\displaystyle \begin{align*} x^{2}-4 &= x^{2}-2^{2} \\ &= \left ( x-2 \right )\cdot \left ( x+2 \right ) \end{align*}$ 

Örnek:
$\displaystyle \begin{align*} 9a^{2}-b^{2} &= \left (3a \right )^{2}-b^{2} \\ &= \left ( 3a-b \right )\cdot \left ( 3a+b \right ) \end{align*}$ 

Örnek:
$\displaystyle \begin{align*} x^{4}-y^{4} &= \left (x^{2} \right )^{2}-\left (y^{2} \right )^{2} \\ &= \left ( x^{2}-y^{2} \right )\cdot \left ( x^{2}+y^{2} \right ) \\ &= \left ( x-y \right )\cdot \left ( x+y \right )\cdot \left ( x^{2}+y^{2} \right ) \end{align*}$