8. Sınıf Matematik – Üslü İfadeler Konu Anlatımı

Bir a sayısının n tane yanyana yazılıp çarpılmasına $a$ üzeri $n$ denir ve $\displaystyle a^{n}$ ile gösterilir. $\displaystyle a^{n}$ ifadesinde $a$ taban, $n$ kuvvet (üs) olarak adlandırılır.

Örnek: $\displaystyle 3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$ (4 tane 3’ün yanyana çarpımı)

İÇİNDEKİLER gizle

TEMEL ÜS ALMA KURALLARI

NEGATİF ÜS

ÜSSÜN ÜSSÜ

ÜSLÜ İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ

ÜSLÜ SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ

ONDALIK GÖSTERİMLERİN ÇÖZÜMLENMESİ

ÇOK BÜYÜK VE ÇOK KÜÇÜK SAYILAR

BİLİMSEL GÖSTERİM

TEMEL ÜS ALMA KURALLARI

1. Birin tüm kuvvetleri birdir. (1ⁿ=1)
1⁴ = 1, 1²⁰¹⁶=1, 1^-49=1

2. Sıfır dışındaki tüm sayıların sıfırıncı kuvveti bire eşittir. (a≠0, a⁰=1)
56⁰ = 1, (−8)⁰ = 1, 2008⁰ = 1

3. Sıfırın pozitif kuvvetleri sıfırdır. (n > 0, 0ⁿ= 0)
0²⁴=0, 0⁵⁶⁷ = 0, 0¹ = 0
Dikkat! 0⁰ belirsiz ve sıfırın negatif kuvvetleri tanımsızdır.

4. Tüm sayıların birinci kuvveti kendisine eşittir. (a¹=a)
5¹=5, (−9)¹=–9

5. Negatif sayıların; Tek kuvvetleri negatif, Çift kuvvetleri pozitiftir.
(−3)³=(–3)⋅(–3)⋅(–3)=–27
(−3)⁴=(–3)⋅(–3)⋅(–3)⋅(–3)=+81

6. (–1) sayısının; Tek kuvvetleri (–1), Çift kuvvetleri (+1) dir.
(−1)³=(–1)⋅(–1)⋅(–1)=–1
(−1)²=(–1)⋅(–1)=+1

7. Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
(+)^tüm= +

BİLİNMESİ GEREKEN SAYILARIN KUVVETLERİ

$\displaystyle 2^{0}=1$
$\displaystyle 2^{1}=2$
$\displaystyle 2^{2}=4$
$\displaystyle 2^{3}=8$
$\displaystyle 2^{4}=16$
$\displaystyle 2^{5}=32$
$\displaystyle 2^{6}=64$
$\displaystyle 2^{7}=128$
$\displaystyle 2^{8}=256$
$\displaystyle 2^{9}=512$
$\displaystyle 2^{10}=1024$

$\displaystyle 3^{0}=1$
$\displaystyle 3^{1}=3$
$\displaystyle 3^{2}=9$
$\displaystyle 3^{3}=27$
$\displaystyle 3^{4}=81$
$\displaystyle 3^{5}=243$
$\displaystyle 3^{6}=729$
____________
$\displaystyle 4^{0}=1$
$\displaystyle 4^{1}=4$
$\displaystyle 4^{2}=16$
$\displaystyle 4^{3}=64$

$\displaystyle 5^{0}=1$
$\displaystyle 5^{1}=5$
$\displaystyle 5^{2}=25$
$\displaystyle 5^{3}=125$
$\displaystyle 5^{4}=625$
____________
$\displaystyle 6^{0}=1$
$\displaystyle 6^{1}=6$
$\displaystyle 6^{2}=36$
$\displaystyle 6^{3}=216$
____________
$\displaystyle 7^{0}=1$
$\displaystyle 7^{1}=7$
$\displaystyle 7^{2}=49$
$\displaystyle 7^{3}=343$

$\displaystyle 8^{0}=1$
$\displaystyle 8^{1}=8$
$\displaystyle 8^{2}=64$
$\displaystyle 8^{3}=512$
____________
$\displaystyle 9^{0}=1$
$\displaystyle 9^{1}=9$
$\displaystyle 9^{2}=81$
$\displaystyle 9^{3}=729$
____________
$\displaystyle 10^{0}=1$
$\displaystyle 10^{1}=10$
$\displaystyle 10^{2}=100$
$\displaystyle 10^{3}=1000$

NEGATİF ÜS

Sıfırdan farklı bir sayının negatif üssü, tabanının çarmaya göre tersinin pozitif üssüne eşittir. Burada asıl olan şey bir sayı paydan paydaya veya paydadan paya taşınırsa üssünün işareti değişir.

$\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ (tam sayıların negatif kuvveti)

$\displaystyle \frac{1}{a^{-n}}=a^{n}$ (paydada negatif kuvvet)

$\displaystyle \left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^{n}$ (rasyonel sayıların negatif kuvveti)

Örnek:
$\displaystyle 2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}$

$\displaystyle \frac{1}{3^{-4}}=3^{4}$

$\displaystyle \left (\frac{2}{3} \right )^{-4}=\left (\frac{3}{2} \right )^{4}$

ÜSSÜN ÜSSÜ

Üslü bir sayının üssü alındığında üsler çarpılır.

$\displaystyle \left (x^{m} \right )^{n}=x^{m\cdot n} $

$\displaystyle \left (2^{5} \right )^{4}=2^{5\cdot 4} =2^{20}$

Not: Ondalık kesirler önce rasyonel hale getirilerek üssü alınabilir.

Örnek: $\displaystyle 128^{5}$ üslü olarak başka türlü gösterilebilirmi?

$\displaystyle 128^{5}=\left (2^{7} \right )^{5}=2^{35}$

ÜSLÜ İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ

1. Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanarak ortak tabana üs olarak yazılır.

$\displaystyle x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$

Örnek: $\displaystyle 2^{4}\cdot 2^{5}=2^{4+5}=2^{9}$

Örnek: $\displaystyle 3^{-2}\cdot 3^{5}=3^{-2+5}=3^{3}$

Örnek: $\displaystyle 16^{2}\cdot 8^{-4}$ işleminin sonucunu bulalım.

$\displaystyle \begin{align*} 16^{2}\cdot 8^{-4} &= \left (2^{4} \right )^{2}\cdot \left (2^{3} \right )^{-4} \\ &= 2^{8}\cdot 2^{-12}\\ &= 2^{8+\left ( -12 \right )}\\ &= 2^{-4} \end{align*}$

2. Üsleri aynı olan üslü sayılar çarpılırken, tabanların çarpımı ortak üsse taban olarak yazılır.

$\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}=\left ( a\cdot b \right )^{x}$

$\displaystyle 3^{4}\cdot 2^{4}=\left ( 3\cdot 2 \right )^{4}=6^{4}$

ÜSLÜ SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ

1. Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken, paydaki üslü ifadenin kuvvetinden paydadaki üslü ifadenin kuvveti çıkarılarak ortak tabana üs olarak yazılır.

$\displaystyle \frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}$

$\displaystyle \frac{3^{8}}{3^{5}}=3^{8-5}=3^{3} $

2. Üsleri aynı olan üslü sayılar bölünürken tabanların bölümü ortak üsse taban olarak yazılır.

$\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}=\left (\frac{a}{b} \right )^{x}$

$\displaystyle \frac{15^{7}}{3^{7}}=\left (\frac{15}{3} \right )^{7}=5^{7}$

ONDALIK GÖSTERİMLERİN ÇÖZÜMLENMESİ

Bir ondalık gösterimi basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazmaya, bu ondalık gösterimi çözümleme denir.

Çözümleme yapılırken virgülden önceki basamakların üzerine sağdan sola doğru 0 dan başlanır artarak değerler yazılır, virgülden sonraki basamaklara ise soldan sağa doğru -1 den başlanır ve azalarak değerler yazılır. Bu yazılan sayılar 10’un kuvvetleridir. Bu şekilde çözümlemeyi karıştırmadan yapabiliriz.

Örnek: $\displaystyle 5649,728$ ondalık gösterimini çözümleyelim.

$\displaystyle \overset{3}{5} \overset{2}{6} \overset{1}{4} \overset{0}{9}, \overset{-1}{7} \overset{-2}{2} \overset{-3}{8}$ $\displaystyle = 5\cdot 10^{3} + 6\cdot 10^{2} + 4\cdot 10^{1} + 9\cdot 10^{0} + 7\cdot 10^{-1} + 2\cdot 10^{-2} + 8\cdot 10^{-3}$

Örnek: $\displaystyle 801,009$ ondalık gösterimini çözümleyelim.

$\displaystyle \overset{2}{8} \overset{1}{0} \overset{0}{1}, \overset{-1}{0} \overset{-2}{0} \overset{-3}{9}$ $\displaystyle = 8\cdot 10^{2} + 10^{0} + 9\cdot 10^{-3}$
Bu örnekte olduğu gibi 0 rakamlarının basamak değerlerini yazmamıza gerek yoktur. 1 rakamı çarpma işleminde etkisiz eleman olduğu için yazılmasada olur ancak(!) 10’un kuvveti olan ifade yazılmalıdır.

ÇOK BÜYÜK VE ÇOK KÜÇÜK SAYILAR

|a|·10ⁿ ifadesinde ki n tam sayısı pozitif ise bu sayıya çok büyük sayı, n tam sayısı negatif ise bu sayıya çok küçük sayı denir.

$\displaystyle 48000000=48\cdot 10^{6}$

$\displaystyle 20090000=2009\cdot 10^{4}$

$\displaystyle 0,0004=4\cdot 10^{-4}$

$\displaystyle 0,00000816=816\cdot 10^{-8}$

Bir üslü sayıyı 10 un kuvvetlerini kullanarak yazdığımızda farklı şekillerde gösterebiliriz burada virgül 1 adım sağa kayarsa 10’un kuvveti 1 azalır, 1 adım sola kayarsa 10’un kuvveti 1 artar.

$\displaystyle 426\cdot 10^{8}=42,6\cdot 10^{9}$ (tam sayılarda virgül sayının sağındadır. burada virgül 1 adım sola kaydırıldığı için 10 un kuvveti 1 artmıştır.

$\displaystyle 3,508\cdot 10^{6}=350,8\cdot 10^{4}$ (virgül 2 adım sağa kaydırıldığı için 10 un kuvveti 2 azalmıştır.)

$\displaystyle 0,948\cdot 10^{-5}=948\cdot 10^{-8}$ (virgül 3 adım sağa kaydırıldığı için 10 un kuvveti 3 azalmıştır.)

$\displaystyle 402,5\cdot 10^{-4}=4,025\cdot 10^{-2}$ (virgül 2 adım sola kaydırıldığı için 10 un kuvveti 2 artmıştır.)

BİLİMSEL GÖSTERİM

$1\leq a< 10$ ve $n$ bir tam sayı olmak üzere, bir sayının $\displaystyle a\cdot10^{n}$ şeklinde yazılmasına bilimsel gösterim denir.

$145\cdot 10^{7}=1,45\cdot 10^{9}$

$0,0043\cdot10^{5}=4,3\cdot 10^{2}$

$28000000=2,8\cdot 10^{7}$

$0,00000000562=5,62\cdot 10^{-9}$

Not: Bilimsel gösterime çevirirken virgül 1 adım sağa kayarsa 10’un kuvveti 1 azalır, 1 adım sola kayarsa 10’un kuvveti 1 artar.

KONU KAZANIMLARI

M.8.1.2.1. Tam sayıların, tam sayı kuvvetlerini hesaplar.
M.8.1.2.2. Üslü ifadelerle ilgili temel kuralları anlar, birbirine denk ifadeler oluşturur.
M.8.1.2.3. Sayıların ondalık gösterimlerini 10’un tam sayı kuvvetlerini kullanarak çözümler.
M.8.1.2.4. Verilen bir sayıyı 10’un farklı tam sayı kuvvetlerini kullanarak ifade eder.
M.8.1.2.5. Çok büyük ve çok küçük sayıları bilimsel gösterimle ifade eder ve karşılaştırır.